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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


所以 ?

?9m ? 8 ? 1, ?9m ? 8 ? 2, ?9m ? 8 ? ?10, ?9m ? 8 ? ?5, 或? 或? 或? ?9n ? 8 ? 10, ?9n ? 8 ? 5, ?9n ? 8 ? ?1, ?9n ? 8 ? ?2,

10 2 1 ? ? ? m ? , ? m ? ? , ?m ? , ? ?m ? 1, ? ? ? 9 9 93 解得 ? 或? 或? 或? ?n ? 2, ?n ? 13 , ? n ? 7 , ?n ? 2 , ? ? ? 9 9 3 ? ? ?
又 m, n 是整数,所以后面三组解舍去,故 m ? 1, n ? 2 . 因此, b ? ?(m ? n) ? ?3 , c ? ?mn ? ?2 ,二次函数的解析式为 y ? x ? 3x ? 2 .
2

易求得点 A、 B 的坐标为 (1,0) 和 (2,0) , 点 C 的坐标为 (0,2) , 所以△ABC 的面积为

1 ? (2 ? 1) ? 2 ? 1 . 2

第二试 (B)
一. (本题满分 20 分)设整数 a, b, c 为三角形的三边长,满足 a ? b ? c ? ab ? ac ? bc ? 13 ,求
2 2 2

符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数(全等的三角形只计算 1 次). 解 不妨设 a ? b ? c ,由已知等式可得

(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (a ? c)2 ? 26
令 a ? b ? m, b ? c ? n ,则 a ? c ? m ? n ,其中 m, n 均为自然数. 于是,等式①变为 m ? n ? (m ? n) ? 26 ,即
2 2 2

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

m2 ? n2 ? mn ? 13
由于 m, n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 m, n 只有两组: ?

?m ? 3, ?m ? 1, 和? ?n ? 3. ?n ? 1

(1)当 m ? 3, n ?1 时,b ? c ? 1 , a ? b ? 3 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b ? c ? a , 即 (c ? 1) ? c ? c ? 4 , 解 得 c ? 3 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 , 即

a? b? c (?

c 4? )

c? ? ( c ? 1 ) ,解得 ? c ? 3 0

25 25 .因此 3 ? c ? ,所以 c 可以取值 4,5,6,7,8, 3 3

对应可得到 5 个符合条件的三角形.

, n ?3 时,b ? c ? 3 , a ? b ? 1 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b ? c ? a , (2)当 m ? 1
即 (c ? 3) ? c ? c ? 4 , 解 得 c ? 1 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 , 即

a ? b ? c( ?

c 4? )

c? ? ( c ? 3 ) ,解得 ? c ? 3 0

23 23 .因此 1 ? c ? ,所以 c 可以取值 2,3,4,5,6,7, 3 3

对应可得到 6 个符合条件的三角形. 综合可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5+6=11. 二. (本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第二题相同. 三. (本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)
一. (本题满分 20 分)题目和解答与(B)卷第一题相同. 二. (本题满分 25 分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
2 三. (本题满分 25 分)设 p 是大于 2 的质数,k 为正整数.若函数 y ? x ? px ? (k ? 1) p ? 4 的图

象与 x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求 k 的值. 解 由题意知,方程 x ? px ? (k ? 1) p ? 4 ? 0 的两根 x1 , x 2 中至少有一个为整数.
2

由根与系数的关系可得 x1 ? x2 ? ? p,

x1 x2 ? (k ? 1) p ? 4 ,从而有

( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (k ? 1) p

2 (1)若 k ? 1 ,则方程为 x ? px ? 2( p ? 2) ? 0 ,它有两个整数根 ?2 和 2 ? p .

(2)若 k ? 1 ,则 k ? 1 ? 0 . 因为 x1 ? x2 ? ? p 为整数,如果 x1 , x 2 中至少有一个为整数,则 x1 , x 2 都是整数. 又因为 p 为质数,由①式知 p | x1 ? 2 或 p | x2 ? 2 .

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不妨设 p | x1 ? 2 ,则可设 x1 ? 2 ? mp (其中 m 为非零整数) ,则由①式可得 x2 ? 2 ? 故 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? mp ?

k ?1 k ?1 ,即 x1 ? x2 ? 4 ? mp ? . m m k ?1 又 x1 ? x2 ? ? p ,所以 ? p ? 4 ? mp ? ,即 m k ?1 (m ? 1) p ? ?4 ② m k ?1 k ?1 ? 0 ,从而 (m ? 1) p ? ? 6 ,与②式矛 如果 m 为正整数,则 (m ? 1) p ? (1 ? 1) ? 3 ? 6 , m m
盾. 如果 m 为负整数,则 (m ? 1) p ? 0 ,

k ?1 , m

k ?1 k ?1 ? 0 ,从而 (m ? 1) p ? ? 0 ,与②式矛盾. m m

因此, k ? 1 时,方程 x 2 ? px ? (k ? 1) p ? 4 ? 0 不可能有整数根. 综上所述, k ? 1 .

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2012 年全国初中数学竞赛试题 副题
题 号 得 分 评卷人 复查人 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四 个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填 都得 0 分) 1. 小王在做数学题时,发现下面有趣的结果: 一 1~5 二 6~10 11 12 三 13 14 总 分

由上,我们可知第 100 行的最后一个数是( ) . (A)10000 (B)10020 (C)10120 (D)10200 2. 如图,在 3×4 表格中,左上角的 1×1 小方格被染成黑色,则在这个表格中包含黑色小方格的矩 形个数是( ) .

(A)11
(第 2 题)

(B)12

(C)13

(D)14

3.如果关于 的方程 ( ) . (A)1 (B)2

有两个有理根,那么所有满足条件的正整数 的个数是

(C)3

(D)4

4. 若函数 y=(k2-1)x2-(k+1)x+1(k 为参数)的图象与 x 轴没有公共

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点,则 k 的取值范围是( ) .

(A)k>

,或 k<-1

(B)-1<k<

,且 k≠1

(C)k>

,或 k≤-1

(D)k≥

,或 k≤-1

5. △ABC 中, 点,且 (A) (C)

, ,则 (B)

分别为 与

上的点,

123456789101112

 


 

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