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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


平分

,BM=CM,

上一

的大小关系为( ) .

(D)无法确定

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6. 如图,正方形 ABCD 的面积为 90.点 P 在 AB 上, ,则△PZX 的面积为 . ;X,Y,Z 三点在 BD 上,且

(第 6 题) 7.甲、乙、丙三辆车都匀速从 A 地驶往 B 地.乙车比丙车晚 5 分钟出发,出发后 40 分钟追上丙 车;甲车比乙车晚 20 分钟出发,出发后 100 分钟追上丙车,则甲车出发后 分钟追上乙车.

8. 设 an= (填“>” , “=”或“<” )

(n 为正整数) ,则 a1+a2+?+a2012 的值

1.

9.红、黑、白三种颜色的球各 10 个.把它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜 色的球都有,且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等, 那么共有 种放法.

10. △ABC 中,已知

,且 b=4, 则 a+c=

.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)

11. 已知 c≤b≤a,且 12. 求关于 a,b,c,d 的方程组

,求

的最小值.

的所有正整数解. 13. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC,BD 相交于点 O.P,Q 分别是 AD,BC 上的点,且 , .求证:OP=OQ.

(第 13 题) 14.(1)已知 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方,求 的值. (2)设 为非零实数, 为正整数,是否存在一列数

满足首尾两项的积等于中间项的平方? (3)设 为非零实数,若将一列数 中的某一项删去后得到又一列数 (按原来的顺序) , 满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求 的所 有可能的值.
2012-04-16 人教网

2012 年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案
一、选择题 1.D

解:第 k 行的最后一个数是 2. B

,故第 100 行的最后一个数是

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

解:这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定,由于包含黑色小方格,于是,对角线的一个端 点确定,另一个端点有 3× 4=12 种选择. 3.B 解:由于方程的两根均为有理数,所以根的判别式 ≥0,且为完全平方数.

≥0,又 2≥

,所以,

时,解得

时,解得

4. C 解:当函数为二次函数时,有 k2-1≠0, =(k+1)2-4(k2-1)<0.

解得 k>

,或 k<-1.

当函数为一次函数时,k=1,此时 y=-2x+1 与 x 轴有公共点,不符合题意. 当函数为常数函数时,k=-1,此时 y=1 与 x 轴没有公共点.

所以,k 的取值范围是 k>

,或 k≤-1.

5. B

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

(第 5 题)

解:如图,设

,作

BKCE,则

于是 A,B,E,C 四点共圆. 因为

的中点,所以

,从而有

平分

.

二、填空题 6. 30

(第 6 题) 解:如图,连接 PD,则

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7.180 解:设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟 x,y,z 米,由题意知

消去 z,得

设甲车出发后 t 分钟追上乙车,则

,即

解得

8.<

解:由 an=

=

,得

a1+a2+?+a2012=

=

<1.

9.25 解:设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为 1≤ 且 ,则有 ≤9,

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(1)

(2)

于是

.因此

中必有一个取 5.不妨设

,代入(1)式,得到

此时,y 可取 1,2,?,8,9(相应地 z 取 9,8,?,2,1) ,共 9 种放法.同理可得 y=5,或者 z=5 时,也各有 9 种放法.但 时,两种放法重复.因此共有 9×3-2 = 25 种放法. 10. 6

(第 10 题) 解:如图,设△ABC 内切圆为⊙I,半径为 r,⊙I 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,连接 IA,IB,IC,ID,IE,IF. 由切线长定理得

AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中 p=

(a+b+c).

在 Rt△AIF 中,tan∠IAF=

,即

tan

.

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同理, tan 代入已知等式,得

, tan

.

.

因此 a+c=

.

三、解答题

11. 解:已知

,又

,且

,所以 b,c 是关于 x 的一元二次方程

的两个根.

≥0,

≥0,

即 所以 ≥20.

≥0,

于是

≤-10,

≥10,从而

≥10,故

≥30,

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时,等号成立.

12. 解:将 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得 10ab+10bc+10ca=9abc.

因为 abc≠0,所以,

.

不妨设 a≤b≤c,则

>0.

于是,

<a≤

.

从而,a=2,或 3.

若 a=2,则

.

因为

,所以,

<b≤5.

从而,b=3,4,5. 相应地,可得 c=15,

(舍去),5.

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当 a=2,b=3,c=15 时,d=90; 当 a=2,b=5,c=5 时,d=50.

若 a=3,则

.

因为

,所以,

<b≤

.

从而,b=2(舍去) ,3.

当 b=3 时,c=

(舍去).

因此,所有正整数解为 (a,b,c,d)=(2,3,15,90),(2,15,3,90),(3,2,15,90), (3,15,2,90),(15,2,3,90),(15,3,2,90), (2,5,5,50),(5,2,5,50),(5,5,2,50).

13. 证明:延长 DA 至

,使得

,则

,于是

123456789101112

 


 

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