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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


△DPC∽△

所以 PO∥

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

(第 13 题)

又因为△DPO ∽△

,所以

同理可得

而 AB∥CD,所以

,故 OP=OQ.

14. 解: (1)由题设可得

,或

,或

.

,解得

,解得

,解得

.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

所以满足题设要求的实数

.

(2)不存在.

由题设

(整数 ≥1)满足首项与末项的积是中

间项的平方,则有

, 解得 ,这与 矛盾.

故不存在这样的数列. (3)如果删去的是 1,或者是 或数列 ,则由(2)知 ,这与题设 矛盾. ,

均为 1,1,1,即

如果删去的是

, 得到的一列数为

, 那么

, 可得

.

如果删去的是

,得到的一列数为

,那么

,开得

.

所以符合题设要求的 的值为 1,或

.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

2013 年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题
?a ? 2b ? 3c ? 0, ab ? bc ? ca 1.设非零实数 a , b , c 满足 ? 则 2 的值为( 2 2 ?2a ? 3b ? 4c ? 0, a ? b ? c

) .

(A) ?

1 2 【答案】A

(B) 0

(C)

1 2

(D) 1

【解答】由已知得 a ? b ? c ? (2a ? 3b ? 4c) ? (a ? 2b ? 3c) ? 0 ,故 (a ? b ? c)2 ? 0 .于是
1 ab ? bc ? ca 1 ab ? bc ? ca ? ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ,所以 2 ?? . 2 2 2 a ?b ?c 2

2.已知 a ,b ,c 是实常数,关于 x 的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个非零实根 x1 ,

x2 ,则下列关于 x 的一元二次方程中,以
(A) c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 (C) c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 【答案】B

1 1 , 2 为两个实根的是( 2 x1 x2

) .

(B) c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 (D) c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0
b , a

【解答】由于 ax 2 ? bx ? c ? 0 是关于 x 的一元二次方程,则 a ? 0 .因为 x1 ? x2 ? ?
c x1 x2 ? ,且 x1 x2 ? 0 ,所以 c ? 0 ,且 a

2 ? 2 x1 x2 b2 ? 2 1 1 ( x1 ? x2 ) a c 1 1 a2 , 2? 2 ? 2 , ? 2? ? 2 x12 x2 x12 x2 c2 x1 x2 c

于是根据方程根与系数的关系,以

1 1 , 2 为两个实根的一元二次方程是 2 x1 x2

x2 ?

b2 ? 2ac a2 x ? ? 0 ,即 c2 x 2 ? (b2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0 . 2 c c

3.如图,在 Rt△ABC 中,已知 O 是斜边 AB 的中点,CD⊥ AB,垂足为 D,DE⊥OC,垂足为 E.若 AD,DB,CD 的长度都 是有理数,则线段 OD,OE,DE,AC 的长度中,不一定 是有理数 ... 的为( ) . (B)OE (D)AC
(第 3 题)

(A)OD (C)DE 【答案】D

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

【解答】因 AD,DB,CD 的长度都是有理数,所以,OA AD ? BD =OB=OC= 是有理数.于是,OD=OA-AD 是有理 2 数. 由 Rt△DOE∽Rt△COD,知 OE ?
DC · DO OD 2 , DE ? 都 OC OC
(第 3 题答题)

是有理数,而 AC= AD· AB 不一定是有理数. 4.如图,已知△ABC 的面积为 24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 4CF ,DCFE 是平行四边形,则 图中阴影部分的面积为( (A)3 (C)6 ) . (B)4 (D)8
(第 4 题)

【答案】C 【解答】 因为 DCFE 是平行四边形, 所以 DE//CF, 且 EF//DC. 连接 CE,因为 DE//CF,即 DE//BF,所以 S△DEB = S△DEC, 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积. 连接 AF,因为 EF//CD,即 EF//AC,所以 S△ACE = S△ACF. 因为 BC ? 4CF , 所以 S△ABC = 4S△ACF. 故阴影部分的面积为 6. 5.对于任意实数 x,y,z,定义运算“*”为:
x? y ? 3x 3 y ? 3x 2 y 2 ? xy 3 ? 45

? x ? 1? ? ? y ? 1?
3

3

? 60


(第 4 题答题)

且 x ? y ? z ? ? x ? y ? ? z ,则 2013 ? 2012 ?? ? 3 ? 2 的值为( (A)
607 1821 5463 (B) (C) 967 967 967 【答案】C 【解答】设 2013 ? 2012 ?? ? 4 ? m ,则

) . (D)
16389 967

?2013? 2012 ??? 4? ? 3 ? m ? 3 ?

3m3 ? 3 ? 3m 2 ? 9 ? m ? 27 ? 45 ?9, m3 ? 3m2 ? 3m ? 1 ? 64 ? 60

3 ? 93 ? 2 ? 3 ? 92 ? 22 ? 9 ? 23 ? 45 5463 ? 于是 ? 2013 ? 2012 ??? 3? ? 2 ? 9 ? 2 ? . 103 ? 33 ? 60 967

二、填空题 6.设 a ? 3 ,b 是 a 2 的小数部分,则 (b ? 2)3 的值为
3

【答案】 9

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

【解答】由于 1 ? a ? 2 ? a 2 ? 3 ,故 b ? a 2 ? 2 ? 9 ? 2 ,因此 (b ? 2)3 ? ( 3 9)3 ? 9 .
3

7.如图,点 D,E 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的点,直线 BD 与 CE 交于点 F,已知△CDF,△BFE,△BCF 的面积分别是 3, 4,5,则四边形 AEFD 的面积是
204 13 【解答】如图,连接 AF,则有:

【答案】

S?AEF ? 4 S?AEF ? S?BFE BF S?BCF 5 = ? ? ? , S?AFD S?AFD FD S?CDF 3 S?AFD ? 3 S?AFD ? S?CDF CF S?BCF 5 ? ? ? ? , S?AEF S?AEF FE S?BEF 4
108 96 , S ?AFD ? . 13 13 204 所以,四边形 AEFD 的面积是 . 13

(第 7 题)

解得 S ?AEF ?

(第 7 题答题)

8 .已知正整数 a , b , c 满足 a ? b2 ? 2 c ? 2 ? 0, 3a 2 ? 8b ? c ? 0 ,则 abc 的最大值 为 . 【答案】 2013 【解答】由已知 a ? b2 ? 2c ? 2 ? 0 , 3a 2 ? 8b ? c ? 0 消去 c,并整理得

? b ? 8?

2

? 6a 2 ? a ? 66 .由 a 为正整数及 6a 2 ? a ≤66,可得 1≤a≤3.
2

若 a ? 1 ,则 ? b ? 8 ? ? 59 ,无正整数解; 若 a ? 2 ,则 ? b ? 8 ? ? 40 ,无正整数解;
2

若 a ? 3 ,则 ? b ? 8 ? ? 9 ,于是可解得 b ? 11 , b ? 5 .
2

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