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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


(i)若 b ? 11 ,则 c ? 61 ,从而可得 abc ? 3 ? 11 ? 61 ? 2013 ; (ii)若 b ? 5 ,则 c ? 13 ,从而可得 abc ? 3 ? 5 ? 13 ? 195 . 综上知 abc 的最大值为 2013 . 9.实数 a,b,c,d 满足:一元二次方程 x 2 ? cx ? d ? 0 的两根为 a,b,一元二次方程
x 2 ? ax ? b ? 0 的 两 根 为 b c d) c , d , 则 所 有 满 足 条 件 的 数 组 (a,,,


? 2,, 1 ? 2) , (t, 0, ? t, 0) ( t 为任意实数) 【答案】 (1,

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

? a ? b ? ?c, ? ? ab ? d, 【解答】由韦达定理得 ? ?c ? d ? ? a, ? ?cd ? b.

由上式,可知 b ? ?a ? c ? d . d b 若 b ? d ? 0 ,则 a ? ? 1 , c ? ? 1 ,进而 b ? d ? ?a ? c ? ?2 . b d
b c d ) ? (t,, 0 ? t, 0) ( t 为任意实数) 若 b ? d ? 0 ,则 c ? ?a ,有 (a,,, . ? 2,, 1 ? 2) 与 (t, 0, ? t, 0) ( t 为任意实数)满足条件. 经检验,数组 (1,

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4 元,圆珠笔每支售 7 元.开始时 他有铅笔和圆珠笔共 350 支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2013 元.则他至少卖出了 【答案】207
?4 x ? 7 y ? 2013, 【解答】设 x,y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则 ? ? x ? y ? 350,
2013 ? 7 y y ?1 ? (503 ? 2 y ) ? , 4 4 y ?1 于是 是整数.又 2013 ? 4( x ? y ) ? 3 y ? 4 ? 350 ? 3 y , 4

支圆珠笔.

所以 x ?

所以 y ? 204 ,故 y 的最小值为 207,此时 x ? 141 .

三、解答题 11.如图,抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴
1 交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? x ? 1 与 y 轴交于点 D. 3 求∠DBC?∠CBE. 1 【解答】将 x ? 0 分别代入 y ? ? x ? 1 , y ? ax 2 ? bx ? 3 知, 3 D(0,1),C(0, ?3 ),

(第 11 题)

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

1 所以 B(3,0),A( ?1 ,0).直线 y ? ? x ? 1 过点 B. 3

将点 C(0, ?3 )的坐标代入 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,得 a ? 1 .

抛物线 y ? x2 ? 2 x ? 3 的顶点为 E (1, ?4 ).于是由勾股定理得 BC= 3 2 ,CE= 2 ,BE= 2 5 .
?BCE ? 90? . 因为 BC2+CE2=BE2, 所以, △BCE 为直角三角形, CE 1 OD 1 ? ,则∠ DBO= 因此 tan ?CBE = = .又 tan∠DBO= OB 3 CB 3 ?CBE . 所以, ?DBC ? ?CBE ? ?DBC ? ?DBO ? ?OBC ? 45? .
(第 11 题答题)

H, O 共圆,对于所有的△ ABC , 12.设△ ABC 的外心,垂心分别为 O,H ,若 B,C , 求 ?BAC 所有可能的度数. 【解答】分三种情况讨论. (i)若△ ABC 为锐角三角形. 因为 ?BHC ? 180? ? ?A,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ,可得 180? ? ?A ? 2?A ,于是 ?A ? 60? .

(ii) 形.

(第 12 题答题(i) )

(第 12 题答题(ii) )

△ ABC 为 钝 角 三 角

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

当 ?A ? 90? 时,因为 ?BHC ? 180? ??A ,?BOC ? 2 ?180? ??A? , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3?180? ? ?A? ? 180? ,于是 ?A ? 120? 。 当 ?A ? 90? 时,不妨假设 ?B ? 90? ,因为 ?BHC ? ?A,?BOC ? 2?A , 所以由 ?BHC ? ?BOC ? 180? ,可得 3?A ? 180? ,于是 ?A ? 60? . (iii)若△ ABC 为直角三角形. 当 ?A ? 90? 时,因为 O 为边 BC 的中点, B,C,H,O 不可能共圆, 所以 ? A 不可能等于 90 ? ; 当 ?A ? 90? 时, 不妨假设 ?B ? 90? , 此时点 B 与 H 重合, 于是总有 B,C,H,O 共圆, 因此 ? A 可以是满足 0? ? ?A ? 90? 的所有角. 综上可得, ? A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120? .

b, 13. 设a, 记 x ? b ? c ? a,y ? c ? a ? b,z ? a ? b ? c , 当 z 2 ? y, c 是素数,

x ? y ?2

时, a , b , c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 【解答】不能. 1 1 1 依题意,得 a ? ( y ? z ),b ? ( x ? z ),c ? ( x ? y ) . 2 2 2 1 1 z ( z ? 1) 因为 y ? z 2 ,所以 a ? ( y ? z ) ? ( z 2 ? z ) ? . 2 2 2 又由于 z 为整数, a 为素数,所以 z ? 2 或 ?3 , a ? 3 . 当 z ? 2 时, y ? z 2 ? 4,x ? ( y ? 2)2 ? 16 .进而, b ? 9 , c ? 10 ,与 b , c 是素数矛 盾; 当 z ? ?3 时, a ? b ? c ? 0 ,所以 a , b , c 不能构成三角形的三边长.

14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为 m 的“魔术数”(例如,把 86 放在 415 的左侧,得到的数 86415 能被 7 整除,所以称 86 为 415 的魔术数) .求正整数 n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,…,an ,满足 对任意一个正整数 m,在 a1,a2,…,an 中都至少有一个为 m 的魔术数.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

【解答】若 n≤6,取 m ? 1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有 a1,a2,…,an 中 的一个正整数 M 是 i,j (1 ≤ i < j ≤7 ) 的公共的魔术数, 即 7|( 10M ? i ), 7|( 10M ? j ). 则 有 7|( j ? i ),但 0< j ? i ≤6,矛盾. 故 n≥7. 又当 a1,a2,…,an 为 1,2,?,7 时,对任意一个正整数 m,设其为 k 位数( k 为正 整数) .则 10k i ? m ( i ? 1,, 2 ?,7)被 7 除的余数两两不同.若不然,存在正整数 i , j (1 ≤ i < j ≤7 ) ,满足 7|[( 10k j ? m) ? (10k i ? m)] ,即 7 |10k ( j ? i ) ,从而 7| ( j ? i ) ,矛盾. 故必存在一个正整数 i (1 ≤ i ≤7 ) ,使得 7|( 10k i ? m) ,即 i 为 m 的魔术数. 所以,n 的最小值为 7.

2014 年全国初中数学联赛决赛试题
一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1.已知 x , y 为整数,且满足 ( ? 的可能的值有 A. 1 个

1 x

1 1 1 2 1 1 )( 2 ? 2 ) ? ? ( 4 ? 4 ) ,错误!未找到引用源。则 x ? y y x y 3 x y
【 】 C. 3 个 D. 4 个 】

B. 2 个

2.已知非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 t ? 2 xy ? yz ? 2 zx 的最大值为 【 A.

5 9 12 C. D. 9 16 25 3.在△ ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, BE ? AC 于 E ,交 AD 于 P ,已知 BP ? 3 , PE ? 1 ,则错误!未找到引用源。= 【 】
B. A.

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