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数学分析Ⅰ教学大纲(试行草案)_291


数理与信息科学学院统计学专业课程教学大纲

数学分析Ⅰ教学大纲(试行草案)
( 2006 年 8 月试行)

课程代码:P4010114001 一、说明 (一)课程性质 《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程,以一元微分学为基本内容, 是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础,也是高观点下深入理解中学教学内容的基础.在第 1 学期开设. (二)教学目的 通过本课程的学习,使学生掌握一元函数微分学内容,为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程(复变函数、变 实函数、微分方程、泛函分析等)及其后继课程打好基础,并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练. (三)教学内容 集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数,微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性. (四)教学时数及学分 102 学时.学分:5 分 二、本文

一 [[教 教学 学要 要点 点]]

实数集与函数

(10 学时)

集合、映射与函数的概念,一元函数的定义表示及初等函数的定义,函数的简单特性.非空数集上(下)确界的概念.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 实数

实数及其性质;绝对值与不等式. 2 数集与确界原理 集合的概念、运算、Descartes 乘积集合.区间、邻域、数集的上(下)界与最大(小)值的概念.上确界与下确界、确 界存在原理. 3 映射与函数

映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数. 4 具有某些特性的函数

函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.

二 [[教 教学 学要 要点 点]]

数列极限(16 学时)

本段为整个课程的基础,数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型。运用单调有界原理和 Cauchy 收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 数列极限概念 数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限. 2 收敛数列的性质

收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性,无穷小量以及无穷小量的基本性质,数列极限的四则运算,迫敛性.无穷 大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系,待定型.子列、收敛子列定理. 3 数列极限存在的条件 单调数列、单调有界定理.基本列、Cauchy 收敛准则.

三 [[教 教学 学要 要点 点]]

函数极限(16 学时)

函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系,单侧极限、Heine 归结原则、Cauchy 收敛准则.两个重要极限, 无穷小量与无穷大量及其阶的比较.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 函数极限概念

x 趋于无穷大时函数的极限, x 趋于某一定数时函数的极限,单侧极限.
2 函数极限的性质 函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算.无穷小量、无穷大量的 定义及其无穷大量与无穷小量的关系.函数极限定义的推广.复合函数的极限. 3 函数极限存在的条件

Heine 归结原则.单侧极限存在定理,Cauchy 收敛准则. 4 两个重要极限

两个重要极限的推导及其应用. 5 无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量,无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量,等价量、等价量的代换.

四 [[教 教学 学要 要点 点]]

函数的连续性(14 学时)

连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性,闭区间上连续函数的性质、 一致连续的概念.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 连续性概念

连续函数的定义、单侧连续,间断点的类型,区间上的连续函数. 2 连续函数的性质

连续函数的四则运算,连续函数的局部性质,反函数连续性定理、复合函数的连续性.闭区间上连续函数的有界性、最值 性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的 Cantor 定理. 3 初等函数的连续性

指数函数的连续性,基本初等函数的连续性,初等函数的连续性.

五 [[教 教学 学要 要点 点]]

导数与微分(14 学时)

导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用,微分的定义、一阶微分形式的不变性、 高阶导数和高阶微分及运算法则, Leibniz 公式.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 导数概念 导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数,可导与连续的关系.用定义求导数.

2 求导法则 求导的四则运算、反函数求导法则,复合函数求导法则——链式法则.基本求导公式,基本初等函数的导数.双曲函数的 导数. 3 微分 微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计. 4 高阶导数和高阶微分 高阶导数的定义、运算、Leibniz 公式、高阶微分的概念. 5 参量方程所确定的函数的导数

六 [[教 教学 学要 要点 点]]

微分中值定理与不定式极限(20 学时)

微分中值定理、Taylor 公式及其应用, L`Hospital 法则并应用极限计算.用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值 的方法,函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定,应用函数的单调性和凸性证明不 等式,函数的渐近线、函数作图.

[[教 教学 学内 内容 容]]
1 微分中值定理

极值、Fermat 引理、Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理.函数的单调性与单调区间、运用不等式原 理证明不等式. 2 L` Hospital 法则

待定型极限、L` Hospital 法则、 3 Taylor 公式

? 0 0 ? 0 型、 型、 ? ? ? 型、 0 ? ? 型、 ? 型、 1 型、 0 型的极限. 0 ?

Taylor 中值定理、Taylor 公式及其 Peano 型余项、Lagrange 型余项、Cauchy 型余项.Maclaurin 公式,Taylor 公式的应 用、近似计算、求极限. 3 函数的极值

函数极值、最大值和最小值,最值问题. 4 函数的凸性和拐点

函数凸性和拐点的概念,函数凸性和拐点存在的各种条件,Jessen 不等式、运用函数的凹凸性证明不等式. 5 函数图像的讨论

函数的渐进线,运用函数的各种几何性态描述函数的图像.

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