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探索三角形相似的条件98


第六章《图形的相似》(探索三角形相似的条件)

一.选择题 1.如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△+ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原 三角形不相似的是( )

A.

B.

C.

D.

2.如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上,射线 CF 交 DA 的延长线于点 E,在不添加辅助线的情况 下,与△AEF 相似的三角形有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在边 AB 上取点 P,使得△PAD 与△PBC 相似,则这样 的 P 点共有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.如图,小正方形的边长均为 1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )

A.

B.

C.

D.

5. BE 交 AC, CD 于 G, F, 如图所示, 在?ABCD 中, 交 AD 的延长线于 E, 则图中的相似三角形有 (

A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 6.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,BE=CE,MN=1,线段 MN 的两端点在 CD、AD 上滑动,当 DM 为 ( )时,△ABE 与以 D、M、N 为顶点的三角形相似.

A.

B.

C.

D.

二.填空题(共 6 小题) 7.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是 个条件,不添加辅助线和字母) .(只需写一

8.如图,平面直角坐标系中,已知点 A(4,0)和点 B(0,3),点 C 是 AB 的中点,点 P 在折线 AOB 上,直线 CP 截△AOB,所得的三角形与△AOB 相似,那么点 P 的坐标是 .

9.如图,在?ABCD 中,F 是 BC 上的点,直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E,与 AC 相交于点 M,BP ∥DF,且与 AD 相交于点 P,与 AC 相交于点 N,则图中的相似三角形有 对.

10.将两块全等的三角板如图放置,点 O 为 AB 中点,AB=A′B′=10,BC=B′C′=6,现将三角板 A′B′C′绕点 O 旋转,B′C′、A′B′与边 AC 分别交于点 M、N,当 CM= 时,△OMN 与△BCO 相似.

11.如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 边上的点(DE 不平行于 BC),当 ABC 相似.

时,△AED 与△

12.在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中,动点 E、F 分别从 D、C 两点同时出发,都以 1cm/s 的速度在射线 DC、CB 上移动.连接 AE 和 DF 交于点 P,点 Q 为 AD 的中点.若以 A、P、Q 为顶点的三角形与以 P、 D、C 为顶点的三角形相似,则运动时间 t 为 秒.

三.解答题(共 16 小题) 13.如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC= ,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD.

(1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数.

14.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、CD 上的点,AE=ED,DF= DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. (1)求证:△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长.

15. AC=3, BC=4, 如图, △ABC 中, ∠C=90°, 点 D 是 AB 的中点, 点 E 在 DC 的延长线上, 且 CE= CD, 过点 B 作 BF∥DE 交 AE 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点 G. (1)求证:AB=BG; (2)若点 P 是直线 BG 上的一点,试确定点 P 的位置,使△BCP 与△BCD 相似.

16.在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 垂直 AC 交 AC 于点 F,求证:△DEF∽△EBD.

17. M 是 BC 的中点, 如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 过点 A 作 AM 的垂线, 交 CB 的延长线于点 D. 求 证:△DBA∽△DAC.

18.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,图 中有相似(不包括全等)三角形吗?如果有,请写出其中的一对,并给予说明其为什么相似?

19.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC.动点 D 从点 A 出发沿 射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动, 同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动. 过 点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,连接 DG.设点 D 运动的时间 为 t 秒.

(1)当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度; (2)当△DEG 与△ACB 相似时,求 t 的值.

20.如图,在△ABC 中,AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高.求证:△DCE∽△ACB.

21.如图所示,Rt△ABC 中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点 D 在 BC 上运动(不能到达点 B,C),过 点 D 作∠ADE=45°,DE 交 AC 于点 E. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)当△ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长.

22.如图,在△ABC 中,AB=8cm,BC=16cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动,速度为 2cm/s;动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动,速度为 4cm/s;如果 P、Q 两动点同时运动,那么何时△QBP 与△ABC 相似?

23.如图,四边形 ABCD 和 ACED 都是平行四边形,B,C,E 在一条直线上,点 R 为 DE 的中点,BR 分 别交 AC,CD 于点 P,Q.

(1)则图中相似三角形(相似比为 1 除外)共有 (2)求线段 BP:PQ:QR,并说明理由.

对;

24.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上任意一点(与 B、C 不重合)∠AEF=90°.观察图形: (1)△ABE 与△ECF 是否相似?并证明你的结论. (2)若 E 为 BC 的中点,连结 AF,图中有哪些相似三角形?并说明理由.

25.如图,在 Rt△ACB 中,AC=8m,BC=6m,点 P、Q 同时由 C、B 两点出发分别沿 CA、BC 向点 A、C 匀速移动,它们的速度分别是 2 米/秒、1 米/秒,问几秒后△PCQ 与△ACB 相似?

26.如图,巳知 AB 丄 BD,CD 丄 BD. (1)若 AB=9,CD=4,BD=10,请问在 BD 上是否存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为顶点的三角形相似?若存在,求 BP 的长;若不存在.请说明理由; (2)若 AB=9,CD=4,BD=12,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为頂点的三角形相似?并求 BP 的长.

27.如图,在平面直角坐标系中,已知 OA=6 厘米,OB=8 厘米.点 P 从点 B 开始沿 BA 边向终点 A 以 1 厘米/秒的速度移动;点 Q 从点 A 开始沿 AO 边向终点 O 以 1 厘米/秒的速度移动.若 P、Q 同时出发,运 动时间为 t(s). (1)当 t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似? (2)当 t 为何值时,△APQ 的面积为 8cm2?

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