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高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版必修4课件84


1.2.3

两角和与差的正切函数
整体设计

教学分析 教材把两角和与差的正切公式从正弦、 余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主 探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、 余弦公式,对其应用学生 有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教 学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切 公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知 识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形 成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神 .对于公式成立的条件,可以在学生自主推导 公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决. 在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等. 它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美. 本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式 作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系, 使学生更好地用分析的方法寻求解题思路. 三维目标 1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切 公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明. 2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用 ,让学生从中体会转化与化归的思想方法 ,培养 学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公 式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次. 重点难点 教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出 tan15°的值?学生很容易转化为 30°、 45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用 tan30°和 tan45°来求出 tan15° 呢?由此展开新课,探究两角和与差的正切公式. 思路 2.(直接导入)在研究了和与差角 α ±β 的正弦、余弦与单角 α 、β 的正弦、余弦间 的关系后,能否探究出 tan(α ±β )与 tanα 、tanβ 间的关系?是否与 sin(α ±β )公式相 似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出 tan15°的值 , 那么怎样直接利用 tan30°和 tan45°来求出 tan15°呢? ② 利 用 所 学 两 角 和 与 差 的 公 式 , 对 比 分 析 公 式 Cα -β 、 Cα +β 、 Sα -β 、 Sα +β , 能 否 推 导 出 tan(α -β )=?tan(α +β )=? ③分析观察公式 Tα -β 、Tα +β 的结构特征与正、余弦公式有什么不同?

1

④前面两角和与差的正,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢? 活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式 Cα -β 、Cα +β 、Sα +β 、Sα -β ,可以完全让学生 自己进行探究 tan(α -β ),tan(α +β )究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引 导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以 cosα cosβ 即可得到,在这 一过程中学生很可能想不到讨论 cosα cosβ 等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生 通过观察验证自己悟出来才有好效果.对 cosα cosβ 讨论如下: 当 cos(α +β )≠0 时,tan(α +β )=

sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? . ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?

若 cosα cosβ ≠0,即 cosα ≠0 且 cosβ ≠0 时,分子分母同除以 cosα cosβ ,得 tan(α +β )=

tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

根据角 α 、β 的任意性,在上面的式子中,β 用-β 代之,则有 tan(α -β )=

tan? ? tan(? ? ) tan? ? tan ? ? . 1 ? tan? tan(? ? ) 1 ? tan? tan ?

由此推得两角和与差的正切公式,简记为“Tα -β 、Tα +β ”. tan(α +β )=

tan? ? tan ? ;(Tα +β ) 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? .(Tα -β ) 1 ? tan? tan ?

tan(α -β )=

我们把公式 Tα +β ,Tα -β 分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可 以 知 道 α 、 β ,α ±β 有 一 定 的 取 值 范 围 , 即 α ≠ +kπ (k∈Z),这样才能保证 tan(α ±β ) 2 2 2 与 tanα ,tanβ 都有意义. 教师应留出一定的时间让学生回味,反思探究过程,点明推导过程的关键是: tan(α +β )→sin(α +β ),cos(α +β )→sinα 、sinβ 、cosα 、cosβ →tanα 、tanβ . 我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立 的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα 、 tanβ 、 tan(α ±β )都有意义, 且 1±tanα tanβ ≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角 α 、β 正切的和与差,分母 是 1 减(或加)单角 α 、β 正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边 分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角 α ±β 的正切化为单角 α 、 β 的正切 形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、 化简、 证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式. 一般地,我们把公式 Sα +β ,Cα +β ,Tα +β 都叫作和角公式,而把公式 Sα -β ,Cα -β ,Tα -β 都叫作差角公 式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图, 通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应 提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的 正 切 公 式 的 变 形 式 :tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ),tanα -tanβ =tan(α -β )(1+tanα tanβ ),?
2

?

+kπ (k∈Z),β ≠

?

+kπ (k∈Z),α ±β ≠

?

在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力. 对于两角和与差的正切公式,当 tanα ,tanβ 或 tan(α ±β )的值不存在时,不能使用 Tα ±β 处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简 tan(

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