首页 考试资料幻灯片工程技术公务员考试小学教学中学教学大学教学外语资料
96创新设计江苏专用2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题八数学思想方法


专题八 数学思想方法教师用书 理
第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行 考查;数形结合思想一般在填空题中考查.

1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本 质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使 问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借 助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重 要. (3)解析几何中的许多问题, 需要通过解二元方程组才能解决, 这都涉及二次方程与二次函数 的有关理论. 3.数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致 可以分为两种情形:①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为 目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;②借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的 几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数 意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三 是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.

热点一 函数与方程思想的应用 [微题型 1] 不等式问题中的函数(方程)法 【例 1-1】 (1)f(x)=ax -3x+1 对于 x∈[-1,1],总有 f(x)≥0 成立,则 a=________. (2)设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x) >0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________.
3

1

解析 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 3 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax -3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3.

x

x

3 1 3(1-2x) 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , 4

x

x

x

? 1? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0, ?上单调递增,在区间? ,1?上单调递减, ? 2? ?2 ? ?1? 因此 g(x)max=g? ?=4,从而 a≥4. ?2?
3 1 3 1 3 当 x<0 即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax -3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3,设 g(x)= 2- 3,

x

x

x

x

且 g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此 g(x)min=g(-1)=4, 从而 a≤4,综上 a=4. (2)设 F(x)=f(x)g(x),由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和 偶函数,得 F(-x)=f(-x)?g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即 F(x)在 R 上为奇函数. 又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)?g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以 x<0 时,F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以 x>0 时,F(x)也是增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以,由图可知 F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3) 探究提高 (1)在解决不等式问题时, 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数, 利用函数 的图象和性质解决问题;(2)函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立,一般可转化为 f(x)min>0 或

f(x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.
[微题型 2] 数列问题的函数(方程)法 【例 1-2】 已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3 (n∈N ,p 为常数),a1,a2+6,a3 成 等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式;
n
*

n 4 (2)设数列{bn}满足 bn= ,证明:bn≤ . an 9
(1)解 由 a1=3,an+1=an+p?3 , 得 a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p. 因为 a1,a2+6,a3 成等差数列, 所以 a1+a3=2(a2+6), 即 3+3+12p=2(3+3p+6),
2
n

2

得 p=2,依题意知,an+1=an+2?3 . 当 n≥2 时,a2-a1=2?3 ,
1

n

a3-a2=2?32,?, an-an-1=2?3n-1.
将以上式子相加得 an-a1=2(3 +3 +?+3 3?(1-3 所以 an-a1=2? 1-3 所以 an=3 (n≥2). 又 a1=3 符合上式,故 an=3 . (2)证明 因为 an=3 ,所以 bn= n. 3 (n+1) n -2n +2n+1 * 所以 bn+1-bn= - n= (n∈N ), n+1 n+1 3 3 3 若-2n +2n+1<0,则 n>
2 2 2 2 1 2

n-1

),

n-1

) n =3 -3,

n

n

n

n2

1+ 3 , 2

即当 n≥2 时,有 bn+1<bn, 1 4 4 又因为 b1= ,b2= ,故 bn≤ . 3 9 9 探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组? 解. (3)数列中前 n 项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使 an≥0(an≤0) 成立时最大的 n 值即可求解. [微题型 3] 解析几何问题的方程(函数)法 【例 1-3】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. → → (1)若ED=6DF,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解 (1)依题意得椭圆的方程为 +y =1,直线 AB,EF 的方程分别为 x 4 +2y=2,y=kx(k>0).如图,设 D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2), 其中 x1<x2,且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4,故 x2=-x1= ①
3
2 2

? ?an-1≤an,? ?an-1≥an, ? 求 ?an≥an+1,? ?an≤an+1 ?

x2

2

2 1+4k

2

.

→ → 由ED=6DF知 x0-x1=6(x2-x0), 1 5 10 得 x0= (6x2+x1)= x2= ; 2 7 7 7 1+4k 由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2, 得 x0= 2 . 1+2k

1234567

 


 

  【Top

最新搜索