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福建省连城县第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案.doc39


4 13

15.

1

16.

9

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分) 解析:(1)由 2a sin B ? 得 sin A ?

3b 及正弦定理

b a , ? sin B sin A

…………2 分

3 ? . 因为 A 为锐角,所以 A ? . 2 3

…………5 分

(2)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 ? c 2 ? bc ? 36 , …………7 分 又 b ? c ? 8 ,所以 bc ? 所以 S ?ABC ?

28 , 3

…………8 分

1 1 28 3 7 3 . bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 2 3

…………10 分

18.(本题满分 12 分) 解析: (1)∵ {an } 是等差数列,且 a2 ? a6 ? 14 , S5 ? 25 , ∴?

?2a1 ? 6d ? 14 ?a ? 1 ?? 1 . ?5a1 ? 10d ? 25 ?d ? 2

…………3 分

∴通项 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (2)由(1)知 bn ?

…………5 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,…………7 分 a n a n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1
…………12 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

?

1 1 n . (1 ? ) ? 2 2n ? 1 2n ? 1

19. (本题满分 12 分)
1 1 解析:由 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的解集为 {x | ? ? x ? } 知 a ? 0 , 3 2 1 1 且方程 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的两根为 x1 ? ? , x2 ? . 3 2

………1 分 …………2 分

2 ? 1 1 ? ? ?? ? ? a ,由此得 a ? ?12, c ? 2 . 由根与系数的关系得 ? 3 2 ?? 1 ? 1 ? c ? ? 3 2 a

…………4 分

不 等 式 cx 2 ? 2 x ? a ? 0 可 化 为 x 2 ? x ? 6 ? 0 , 解 得 ?2 ? x ? 3 . 所 以 不 等 式 的 解 集 为
{x | ?2 ? x ? 3} .

…………6 分

(2) 解:依题意,当 x ? 0 时,不等式 m ? x ?

4 恒成立, x

4 f ( x) ? x ? , x ? 0 设 只需 m ? f ( x) min x

………………8 分

f ( x) ? x ?

4 4 ? 2 x? ? 4, x x
4

…………10 分

当且仅当 x ? x 即 x ? 2 时 f ( x) min ? 4 从而 m 的取值范围为 (??,4) ……12 分 20. (本题满分 12 分) 解: (1)由 a cos C ?

1 1 c ? b 及正弦定理知 sin A cos C ? sin C ? sin B ………1 分 2 2
…………2 分

? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

? sin A cos C ?

1 sin C ? sin A cos C ? cos A sin C 2
…………4 分 …………6 分

1 sin C ? cos A sin C 2 1 ? ? cos A ? ? A ? (0, ? ),? A ? 2 3
(2)解法一:由余弦定理得 1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc

………8 分

?

1 (b ? c) 2 ? b ? c ? 2 , 4

…………10 分 …………11 分 …………12 分

b ? c ? 2 ?1

?1 ? b ? c ? 2 即周长 P ? b ? c ? 1 ? (2,3]

2 ? b? sin B ? b c 1 3 ? 解法二:由正弦定理得 ……8 分 ? ? ?? 2 2? sin B sin( 2? ? B) sin ? ? c? sin( ? B) 3 3 ? 3 3 ?
所以周长 P ? b ? c ? 1 ?

2 2? ? [sin B ? sin( ? B)] ? 1 ? 1 ? ( 3 sin B ? cos B) ? 1 ? 2 sin( B ? ) ……10 分 3 6 3
…………11 分 …………12 分

2? ? ? 5? ? 1 ?B? (0, ),? B ? ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2
从而周长 P ? b ? c ? 1 ? (2,3] 21. (本题满分 12 分) 解: (1)每年的费用支出是以 6 为首项,2 为公差的等差数列, 依题意 f (n) ? 25n ? [6n ?

…………1 分 ………3 分 …………5 分 ………………6 分

n(n ? 1) ? 2] ? 49 ? ?n 2 ? 20n ? 49 2

令 f (n) ? 15 得 n 2 ? 20n ? 64 ? 0 ,解得 4 ? n ? 16 故车主第 5 年开始获利超过 25 万元; (2)对方案一:利润 f (n) ? ?(n ? 10) ? 51
2

所以当 n ? 10 时,利润取得最大值,为 51 万元 此时出售货车,共获利 51 ? 4 ? 55 万元 对方案二:年平均获利 所以当 n ? …………8 分

f ( n) 49 ? 20 ? (n ? ) ? 20 ? 2 49 ? 6 万元 n n
…………10 分 …………………11 分

49 即 n ? 7 时,年平均获利最大, n

此时出售货车,共获利 6 ? 7 ? 13 ? 55 万元

这两种方案车主均获利 55 万元,但方案一用时 10 年,而方案二只需 7 年,用时较少, 故建议车主采用方案二处理这条货车 22. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2a1 ? 2 得 a1 ? 1 当 n ? 2 时,由 2S n ? n ? n 得 2S n ?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ,
2 2

…………………12 分

………………1 分

两式相减得 a n ? n , ? a1 ? 1 也满足此式

? a n ? n(n ? N ? )

…………………3 分

(Ⅱ)由 b1 ? 1 , 2bn ?1 ? bn ? 0 知数列 ?bn ? 是等比数列, b n ? ( ) n ?1 , 所以 c n ? n ? ( ) n ?1

1 2

1 2

…………………4 分

1 1 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n ?1 2 2 2

1 ? Tn ? 2

1 1 1 1 1 ( ) ? 2 ? ( )2 ? ? ? (n - 1 ) ? ( ) n ?1 ? n ? ( )n 2 2 2 2

两式相减得……5 分

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? n ? ( 1 ) n ? 2 ? (n ? 2)( 1 ) n Tn ? 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ………………8 分 ? Tn ? 4 ? (n ? 2)( ) n-1 2
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 n ? N ? ,都有 Tn ? 4

1 1 1 ? Tn ?1 ? Tn ? (n ? 2)( ) n ?1 ? (n ? 3)( ) n ? (n ? 1)( ) n ? 0 , ? Tn ?1 ? Tn , 2 2 2

? Tn ? T1 ? 1 ,从而 1 ? Tn ? 4
要使得对任意的正整数 n,都有 m ? 2 ? Tn ? m ? 2 ,只需 ?

…………10 分

?m ? 2 ? 1 即2 ? m ? 3 ?m ? 2 ? 4
…………12 分

故存在整数 m ? 2 ,使得对任意的正整数 n,都有 m ? 2 ? Tn ? m ? 2

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