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2000-2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及解析69


2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)

?

1

0

2 x ? x 2 dx =_____________.
2 2 2

(2)曲面 x ? 2 y ? 3z ? 21 在点 (1, ?2, ?2) 的法线方程为_____________. (3)微分方程 xy?? ? 3 y? ? 0 的通解为_____________.

1 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 2 ? 2 3 a ? 2? ? x ? ? ?3? (4)已知方程组 ? ? ? 2 ? ? ? 无解,则 a = _____________. ? ?1 a ?2 ? ?? ? x3 ? ? ? ?0 ? ?
(5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 发生 A 不发生的概率相等,则 P ( A) =_____________.

1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 9

二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 f ( x ) 、 g ( x) 是 恒 大 于 零 的 可 导 函 数 , 且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 则 当

a ? x ? b 时,有
(A) f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) (C) f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) (B) f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) (D) f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)

(2)设 S : x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ( z ? 0), S1 为 S 在第一卦限中的部分,则有 (A) (C)

?? xdS ? 4?? xdS
S S1

(B) (D)

?? ydS ? 4?? xdS
S S1

?? zdS ? 4?? xdS
S S1

?? xyzdS ? 4?? xyzdS
S S1

(3)设级数
?

?u
n ?1

?

n

收敛,则必收敛的级数为
?

(A)

? (?1)n
n ?1 ? n ?1

un n

(B)

?u
n ?1

2 n

(C)

? (u2n?1 ? u2n )

(D)

? (u
n ?1

?

n

? un?1 )

(4)设 n 维列向量组 α1 ,? α ,则 n 维列向量组 β1 ,?, βm 线性无关的 , m m(? n 线性无关 ) 充分必要条件为 (A)向量组 α1 ,?, αm 可由向量组 β1 ,?, βm 线性表示 (B)向量组 β1 ,?, βm 可由向量组 α1 ,?, αm 线性表示 (C)向量组 α1 ,?, αm 与向量组 β1 ,?, βm 等价 (D)矩阵 A ? (α1 ? , αm , 与矩阵 ) B ? (β1 ? , βm , 等价 ) (5) 设二维随机变量 ( X Y , 则随机变量 ? ? X ? Y 与 ? ? X ? Y 不 , 服从二维正态分布 ) 相关的充分必要条件为 (A) E ( X ) ?
2 E( X ? )

E( Y )

(B)

2 [E ( X ?) ] E2 ? Y ( 2 2

) E2 [ Y(

) ]
(D)

(C) E( X ) ? E(Y )
2 E( X ? ) 2 [E ( X ?) ] E2 ? Y (

) E2 [ Y(

) ]

三、(本题满分 6 分)

2? x e sx i n ) . 求l i m (4 ? x ?? x x 1? e
四、(本题满分 5 分) 设 z ? f ( xy , ? )g

1

x y

?2 z x , (其中 ) f 具有二阶连续偏导数 , g 具有二阶连续导数,求 . y ?x?y

五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 I ? 取逆时针方向. 六、(本题满分 7 分) 设 对 于 半 空 间 x ? 0 内 任 意 的 光 滑 有 向 封 闭 曲 面 S, 都 有

? ?

xdy ? ydx 0 ) , R 为半径的圆周 ( R ? 1 ) , ,其中 L 是以点 ( 1 , 为中心 L 4 x2 ? y 2

? ?? xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? e
S

2x

zdxdy ? 0, 其中函数 f ( x) 在 (0, ??) 内具有连续的一阶

f ( x) ? 1, 求 f ( x) . 导数,且 lim ?
x ?0

七、(本题满分 6 分)

1 xn 求幂级数 ? n 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n n n ?1 3 ? (?2)
八、(本题满分 7 分) 设有一半径为 R 的球体 , P0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到

?

P0 距离的平方成正比(比例常数 k ? 0 ),求球体的重心位置.
九、(本题满分 6 分) 设函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上连续 , 且

?

?

0

f ( x)dx ? 0,? f ( x) cos xdx ? 0. 试证 : 在 (0, ? ) 内
0

?

至少存在两个不同的点 ?1 , ?2 , 使 f (?1 ) ? f (?2 ) ? 0. 十、(本题满分 6 分)

?1 0 ?0 1 * 设矩阵 A 的伴随矩阵 A ? ? ?1 0 ? ?0 ?3
单位矩阵,求矩阵 B . 十一、(本题满分 8 分)

0 0 1 0

0? 0? ? , 且 ABA?1 ? BA?1 ? 3E ,其中 E 为 4 阶 0? ? 8?

某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将

1 熟练工支援其 6

他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

2 成为熟练工.设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn , 记成向 5
量?

? xn ? ?. ? yn ?
(1)求 ?

? xn ?1 ? ? xn ? ? xn?1 ? ? xn ? ? 与 ? ? 的关系式并写成矩阵形式: ? ? ? A ? ?. ? yn ?1 ? ? yn ? ? yn?1 ? ? yn ?
? 4? ?1? ? ?1? ? 是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1?

(2)验证 η1 ? ? ? , η2 ? ?

?1? ? x1 ? ? 2 ? ? xn ?1 ? (3)当 ? ? ? ? ? 时,求 ? ?. yn ?1 ? ? y1 ? ? 1 ? ? ? ? ?2?
十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 ? p ? 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

十三、(本题满分 6 分)

? 2 e ?2( x ?? ) x ? ? 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? ? ,其中 ? ? 0 为未知 x ?? ?0
参数.又设 x1 , x2 ,?, xn 是 X 的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计值.

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)设 y ? e
x

(C1 sin x ? C2 cos x) ( C1, C2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程

的通解,则该方程为_____________. (2)设 r ?

x 2 ? y 2 ? z 2 ,则 div(gradr)

(1, ?2 , 2 )

=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:
2

?

0 ?1

dy?

1? y 2

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233

 


 

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