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倒立摆全套资料 word g格式


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x x
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k2 k3 k4
图 3-47 倒立摆极点配置原理图

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

2) 计算特征值 根据要求,并留有一定的裕量(设调整时间为 2 秒),我们选取期望的闭环 极点 s???? i (i?? 1,2,3,4) ,其中: ?1??? 10,?? 2??? 10,?? 3??? 2?? j 2 3,?? 4??? 2?j 2 3 其中,?? 3 ,?? 4 使一对具有???? 0.5,?? n?? 4 的主导闭环极点,??1 ,?? 2 位于主导闭 环极点的左边,因此其影响较小,因此期望的特征方程为: (s? ??1 )(s? ?? 2 )(s? ?? 3 )(s? ?? 4 )?? (s?? 10)(s?? 10)(s?? 2?2 3 j)(s?? 2?? 2 3 j) ? s 4?? 24s 3?? 196s 2?? 720s?? 1600 因此可以得到: ? 1?? 24,?? 2?? 196,?? 3?? 720,?? 4?? 1600 由系统的特征方程:
?s?1 ?0 0 ?? ?0 0 ? s 4?29.4s 2 sI?A????? ?0 s 0 0 s 29.4 0??? 0???? 1?? ?? s???

因此有 a1?? 0, a2??? 29.4, a3?? 0, a 4?? 0 系统的反馈增益矩阵为: K????? 4?a 4??? 3?a3??? 2?a 2??? 1?a1??T?1 3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T:
T?? MW

式中:
M?? B? AB? A 2 B? A3 B ?0 ?1 ???? ?0 ?? ?3 1 0 3 0 0 0 0??? 0???? 88.2?? ?? 0??

??

??

0 88.2

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

?a3 a 2 ?a a1 W???? 2 ? a1 1 ?? ?1 0 于是可以得到:

a1 1 0 0

1?? ? 0 ?? ?29.4 0?? ???? 0?? ? 0 ?? ?? 0?? ? 1

29.4 0 1 0

0 1 0 0

1?? 0??? 0?? ?? 0??

0 ?29.4 ?? 0 29.4 T?? MW????? ?0 0 ?? 0 ?0 ?0.034 ?? 0 ?? ?? ? 0 ?? ? 0

1 0?? 0 1??? 3 0?? ?? 0 3??

T?1

0??? 0 0.0113 0 0.034 0.0113??? 0.3333 0 0??? ?? 0 0 0.3333??

4) 于是有状态反馈增益矩阵 K 为:
K????? 4?a 4??? 3?a3??? 2?a 2??? 1?a1??T?1 ?0.034 ?? 0 ? 0 ?? ? 0 0 0.034 0 0 0.0113 0 0.3333 0 0??? 0.0113??? 0??? ?? 0.3333??

???1600?0?720?0?196?? 29.4?24?0??? ??? - 54.4218 - 24.4898 93.2739 16.1633??

得到控制量为: ???? KX?? 54.4218x?? 24.4898 x - 93.2739?? - 16.1633??? 以上计算可以采用 MATLAB 编程计算。 运行得到以下结果:
??????????????????????????????

图 3-48 极点配置仿真结果

可以看出,在给定系统干扰后,倒立摆可以在 2 秒内很好的回到平衡位置,满足 ?Googol 2005
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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

设计要求。
PRO 3-7 直线一级倒立摆状态空间极点配置 MATLAB 程序 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Googol Linear 1 stage Inverted Pendulum Poles Placement Method1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear; A=[ 0 1 B=[ 0 1 C=[ 1 0 0 D=[ 0 0 ]'; 0 0 0; 0 0 0 3]'; 0; 001 0]; 0; 0 00 1; 0 0 29.4 0];

J=[ -10 0 0 0; 0 -10 0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i]; pa=poly(A);pj=poly(J); M=[B A*B A^2*B A^3*B]; W=[ pa(4) pa(2) pa(3) 1

0

0; 0

0

-2-2*sqrt(3)*i

0;

pa(2) 1; pa(3) pa(2) 0 0; 1 0

1 0

0; 0];

T=M*W; K=[pj(5)-pa(5)

pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3)

pj(2)-pa(2)]*inv(T)

Ac = [(A-B*K)]; Bc = [B]; Cc = [C]; Dc = [D]; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T)); Cn=[1 0 0 0]; Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn=[Nbar*B]; [Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),'-'); hold on; plot(T,X(:,2),'-.'); hold on; plot(T,X(:,3),'.'); plot(T,X(:,4),'-') legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd') hold on;

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

(进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开 “Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Poles Experiments”中的“Poles Control M File1”) 方法二:读者还可以通过下面的方法进行极点配置计算: 矩阵(A-BK)的特征值是方程式 Is?( A?BK )?? 0 的根:
? s 0 0 0???0 ? 0 ?? s 0 0?? ??0 ?0 0 s 0???0 ?? ???? ?0 0 0 s????0 1 0 0?? ?0?? ?? ?1?? 0 0 0?? ?????????k1 ?0?? 0 0 1?? ?? ???? 0 a 0?? ?b??

k2

k3

k 4???? 0

这是 s 的四次代数方程式,可表示为 s 4?? (k 2?? bk 4 )s 3?? ( a?? k1?? bk 3 )s 2?ak 2 s?ak1?? 0 适当选择反馈系数 k1 , k 2 , k 3 , k 4 系统的特征根可以取得所希望的值。 把四个特征根??1 ,??2 ,??3 ,??4 设为四次代数方程式的根,则有 s 4?(?1????2????3????4 )s 3 ? (?1?2????2?3????3?4????4?1????1?3????2?4 )s 2 (?1?2??3????2?3?4????1?3?4????4?1?2 )s ???1?2?3?4?? 0 比较两式有下列联立方程式 k 2?? bk 4??? (?1????2????3????4 ) a?? k1?? bk 3????1?2????2??3????3?4????4??1????1?3????2??4 ak 2??? (?1?2??3????2??3?4????1?3?4????4??1?2 ) ak1????1?2??3?4 如果给出的??1 ,??2 ,??3 ,??4 是实数或共轭复数,则联立方程式的右边全部为 实数。据此可求解出实数 k1 , k 2 , k 3 , k 4 当将特征根指定为下列两组共轭复数时 ?1 ,?? 2 ,??3 ,?? 4 =?2?? 2 3 j ,-10, -10 又 a?? 29.4, b?? 3

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

利用方程式可列出关于 k1 , k 2 , k 3 , k 4 的方程组: k 2?? 3k 4?? 24 29.4?? k1?? 3k 3?? 196 29.4k 2?? 720 29.4k1?? 1600 求解后得 k1??? 54.4218 k 2??? 24.4898 k 3?? 93.2739 k 4?? 16.1633

即施加在小车水平方向的控制力 u: ???? KX?? 54.4218x?? 24.4898 x - 93.2739?? - 16.1633??? 可以看出,和方法一的计算结果一样。
PRO 3-8 直线一级倒立摆状态空间极点配置 MATLAB 程序 2
??????????????????????????????

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

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