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倒立摆全套资料 word g格式


d? 2 )?? 0 。 dt

? ?????

(3-9)

(3-10)

注意:推导传递函数时假设初始条件为 0。 由于输出为角度?? ,求解方程组的第一个方程,可以得到: X (s)?? [ (I?? ml 2 ) g  2 ]?(s) ml s

(3-11)

?Googol 2005

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验


..

?(s) mls 2 ?? X (s) (I?? ml 2 )s 2?mgl

(3-12)

如果令 v?? x ,则有: ?(s) ml ?? 2 V (s) (I?? ml )s 2?mgl 把上式代入方程组的第二个方程,得到:
(M?? m)?? ? (I?? ml 2 ) ?? ml g??? ? (I?? ml 2 ) g???  ? ?? ?(s)s 2?? b?? ? 2???(s)s?ml?(s)s 2?? U (s) s??? ?? ml s???

(3-13)

(3-14)

整理后得到传递函数:
?(s) U ( s) ?? ml 2 s q b(I?? ml 2 ) 3 (M?? m)mgl 2 s 4??? s? s?? q q bmgl q s

(3-15)

其中

q?? [(M?? m)(I?? ml 2 )?(ml) 2 ]

设系统状态空间方程为: X??? AX?? Bu y?? CX?? Du 方程组 对??x?,???解代数方程,得到解如下:
?x??? x?? ?? (I?? ml 2 )b ? ??x???? I (M?? m)?? Mml 2 ? ?????? ??????? ?? ??????? ? I(M??m)??Mml ?0 ? x???? ?? ??x??? ?0 ???????? ???? ????0 ???? ?0 ???????? ??? mlb
2

(3-16)

x????

m 2 gl 2 I (M?? m)?? Mml 2 mgl(M?? m) I (M?? m)?? Mml
2

????

(I?? ml 2 ) I (M?? m)?? Mml 2 ml I (M?? m)?? Mml 2

u

(3-17)
u

x????

????

整理后得到系统状态空间方程:
1 (I?? ml 2 )b I (M?? m)?? Mml 2 0 mlb I (M?? m)?? Mml 2 0 m 2 gl 2 I (M?? m)?? Mml 2 0 mgl (M?? m) I (M?? m)?? Mml 2 0?????? 0???????? ??? x?? ? I?? ml 2?????? ? 2??? 0??? x???? ????????? I (M?? m)?? Mml??u 1???????? ml ?? ? ?? ??????? 0 ???????? 0??????? ?????? I (M?? m)?? Mml 2?? ??????????????????????

?Googol 2005

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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

??????0 0 1 0?? ? ????

由(3-9)的第一个方程为:
2

对于质量均匀分布的摆杆有: 1 3 于是可以得到: 1
2 2

? ?

3????????? ? 化简得到:

??????
. . ..

3g 3 ???? ?x?? 4l 4l

(3-19)

?0 1 ?0 0 ?????? ?0 ?0 0 0

0 0 0 3g 4l

0?? ? x?? 1???????? 0??u ? 0??? 0? x??? ???
'

??????? 4l???

? ?? ?? ? 3 ? ?? ? x?? ???? y????????????????????????????u ?????

(3-20)

另外,也可以利用 MATLAB 中 tf2ss 命令对(3-13)式进行转化,求得上述状 态方程。

3.1.1.1.2拉格朗日方法
下面采用拉格朗日方程建模。 ?1 0 0 0??? x???? y??????????? ??????????0?u 拉格朗日方程为:
. .

????

??? . ??

(3-21) 其中 L 为拉格朗日算子,q 为系统的广义坐标,T 为系统的动能,V 为系统的 I?? ml ????mgl??? ml?x?? 势能。

?

??

?Googol 2005 I?? ml 2

28

ml?? ml? ????mgl??? ml?x??

设 X?? {x, x,? ,?}, u '?? x 则有:
? x???? ??x??? ???????? ????? ???????? ?? ??????? 1??? ?? ???????? 0????????? ????

? x?? ?????

?1 0 0 0??? x?????0? ' ?0 0 1 0????????0?? ?????

L(q, q)?? T (q, q)?V (q, q)

第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

d? L
. i

 L  ? ? fi  qi

(3-22)

其中 i=1,2,3……n, f i 为系统在第 i 个广义坐标上的外力,在一级倒立摆系统 中,系统的广义坐标有三个广义坐标,分别为 x,?1 。 首先计算系统的动能: T?? TM?? Tm 其中 TM , Tm 分别为小车的动能,摆杆 1 的动能。

小车的动能: TM??? 下面计算摆杆的动能:
' '' ' ' .2 1 Mx 2

设以下变量: xpend ——摆杆质心横坐标; ypend ——摆杆质心纵坐标 有: xpend?? x?lSin?? ypend?? lCos?? 摆杆的动能为:
'

m( 2 ?  d t
'' .2 1 J p?? 2??? 2

)?? (

)? ? dt????? ?

.2 1 ml 2??? 6

于是有系统的总动能:
' ''

2 ?  d t

m(

)?? (

)? ?? ml 2??? dt?????6

.2

系统的势能为: V?? Vm?? m?? g?? ypend?? mglCos??

由于系统在?? 广义坐标下只有摩擦力作用,所以有:

?Googol 2005

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dt?q

Tm?? Tm?? Tm ,其中 Tm , Tm 分别为摆杆的平动动能和转动动能。

Tm???

1?d ( xpend ) 2

d ( ypend ) 2? ?

Tm???

Tm?? Tm?? Tm???

1?d ( xpend ) 2

d ( ypend ) 2? ?

1

第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

d? L dt? ??.

.  L  ? ?bx  ??

对于直线一级倒立摆系统,系统状态变量为:
.. ??? ? ?? ?x,? , x,???? ?????????

为求解状态方程:
? ? .X?? AX?? Bu ' ?? ??Y?? CX

需要求解?? , 因此设
.. . . ..

..

将在平衡位置附近进行泰勒级数展开,并线性化,可以得到:
.. . . ..

其中

k11???

f | . .  x x?0,???0,x?0,???0,x?0  f x  f x
.. .

..

k12???

 f |  ? x?0,???0, x?0,???0, x?0
. . ..

k13???

|

x?0,???0, x?0,???0, x?0

.

.

..

k14???

 f  ???
.

|

x?0,???0, x?0,???0, x?0

.

.

..

k15???

|

x?0,???0, x?0,???0, x?0

.

.

..

在计算以上各式前,简单介绍一下 MatheMatica(更多内容请参照网站: www.wolfram.com)。 Mathematica 是一种能够在很多方面进行技术计算的、新的符号计算机语 言,自从 1988 年发布以来,在使用计算机进行数学计算的领域,产生了深远的 影响,在本书中,主要使用了 Mathematica 的符号计算和方程式求解功能。 下面利用 Mathematica 对直线一级倒立摆的建模进行计算:(计算文件请参 见“GLIP2001建模文件MathematicaFile”中的“L1DIP.nb”文件。)

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