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倒立摆全套资料 word g格式


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第 3 章 直线倒立摆建模、仿真及实验

PRO 3-1 直线一级倒立摆建模程序

xpend= [email protected]? l? [email protected]φ @tDD; ypend= l? [email protected]φ @tDD; tpend ? m? HH?t xpendL^2+ H?t ypendL^2L + 1ê6? m? l^2? Hφ '@tDL^2; v = m?= g1 ?ê2 ypend; [email protected]; lang= tpend? v;

[email protected]; ldad= ?φ '@tD lang; [email protected]; fa= ?t ldad? ?φ @tD lang; [email protected]; [email protected] 0< , 8φ ''@tD<D; add= φ ''@tD ê. %; k11= [email protected] add ê[email protected] → 0 ê. φ @tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. φ '@tD → 0 ê. x''@tD → 0 k12= ?φ @tD add ê[email protected] → 0 ê. φ @tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. φ '@tD → 0 ê. x''@tD → 0 k13= ?x'@tD add ê[email protected] → 0 ê. φ @tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. φ '@tD → 0 ê. x''@tD → 0 k14= ?φ '@tD add ê[email protected] → 0 ê. φ @tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. φ '@tD → 0 ê. x''@tD → 0 k15 ?x''@tD add ê[email protected] → 0 ê. φ @tD → 0 ê. x'@tD → 0 ê. φ '@tD → 0 ê. x''@tD → 0 g = = 9.8; l= 0.25;

[email protected]

运行程序(按下 Shift+Enter 组合键运行程序)得到: k11?? 0 3g 4l k13?? 0 k14?? 0 3 k15??? 4l k12??? 设 X?? {x, x,? ,?},系统状态空间方程为:
X??? AX?? Bu ' y?? CX?? Du '
. .

[email protected]

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则有:
?0 1 ?0 ?????? ?0 ?0 0 0 0 0 0 0 3g 4l 0 ? ? ??????? 4l??? ?

(3-23)

x ? ? ?

0 ? ?? 0 ? ? ? x ? ? ? ? ?
'

? ? ? ? ? ? 3 ? ?? ? x??

???? y????????????????????????????u ?????

可以看出,利用拉格朗日方法和牛顿力学方法得到的状态方程的是相同的, 不同之处在于,输入 u ' 为小车的加速度 x '' ,而输入 u 为外界给小车施加的力,对
? x???? ??????? 1??? 于不同的输入,系统的状态方程不一样,对比较简单的直线一级倒立摆,利用牛 ??x??? ?? ???????? 顿力学的方法计算比较方便和快捷,但对于多级倒立摆,利用拉格朗日方法编程 1?????????? 0??u ?????

计算会比较方便。

???

??

0?????????

????

3.1.1.2系统物理参数

? x??

????? 实际系统的模型参数如下: 小车质量 M 摆杆质量 m 小车摩擦系数 b 摆杆转动轴心到杆质心的长度 l 摆杆惯量 I

?1 0 0 0??? x?????0? ' ?0 0 1 0????????0?? ????? Kg 1.096 0.109 Kg 0 .1N/m/sec 0.2 5m 0.0034 kg*m*m

在进行实际系统的 MATLAB 仿真时,请用户自行检查系统参数 是否与实际系统相符,否则请改用实际参数进行计算。

3.1.1.3实际系统模型
把上述参数代入,可以得到系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数:
?(s) X (s) ?? 0.02725s 2 0.0102125s 2?0.26705

(3-24)

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为: ?Googol 2005
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?(s) 0.02725 ?? V (s) 0.0102125s 2?0.26705 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
2.35655s ?3 U (s) s?? 0.0883167s 2?27.9169s?2.30942 ?(s)

(3-25)

(3-26)

以外界作用力作为输入的系统状态方程:
? x?? ?0 ??1 0 ? x?? ?0?0. 8 31670.629317 ???????? ??????0 ??0 0 ?????? ???????? ?0?0.235655 27.8285 0??? x?? 0??? x?? ?? ? 0????? ?0.883167?? ???? ? ? ??u 1??????? ? 0????? ?????????? 0??? ??? ??? ??? ?? ? 2.35655???

? x?? ???? ? x?? ?1 0 0 0??? x???? ?0?? y??????????? ??????????0?u ????? ?0 0 1 0????????? ??? ???? ?????

(3-27)

以小车加速度作为输入的系统状态方程:
? x??? ???0 ??x??? ?? ???????0 ?????? 0 ?? ?????? ?? ???? ??? 0 ??? 1 0 0??? x?? 0 0 0??? x?? ?? ?0?? ?1?? ?????u ' 0 0 1??????? ?0?? ???? 0 29.4 0??????? ??????? ?3??

? x?? ???? ? x?? ?1 0 0 0??? x?????0? ' y????????????????????????????u ????? ?0 0 1 0????????0?? ? ??? ?? ?? ??

(3-28)

需要说明的是,在固高科技所有提供的控制器设计和程序中,采用的都是以 小车的加速度作为系统的输入,如果用户需要采用力矩控制的方法,可以参考以 上把外界作用力作为输入的各式。

3.1.1.4系统可控性分析
系统的可控性分析原理可参考《现代控制工程》中第 11 章的控制系统的状 态分析内容或其它相关资料。 对于连续时间系统: X??? AX?? Bu y?? CX?? Du 系统状态完全可控的条件为:当且仅当向量组 B, AB,..., A n 1 B 是线性无关的, ?Googol 2005
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或 n×n 维矩阵 [B? AB???????? A n 1 B]的秩为 n。 系统的输出可控性的条件为:当且仅当矩阵 [CB?CAB?CA 2 B????????CA n 1 B? D] 的秩等于输出向量 y 的维数。 应用以上原理对系统进行可控性分析,
?0 1 0 ?0 0 0 A????? ?0 0 0 ?? ?0 0 29.4 ?0?? ?1?? B??????? ?0?? ???? ?3?? ?1 0 0 0?? C????? ?0 0 1 0?? ?0?? D??????? ?0?? 0?? 0??? 1?? ?? 0??

??

代入上式,并在 MATLAB 中计算: clear; A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0; 0 1 0 0]; D=[ 0 0 ]'; cona=[B A*B A^2*B A^3*B]; cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B D]; rank(cona) rank(cona2) 或直接利用计算可控性矩阵的 ctrb 命令和计算可观性的矩阵 obsv 命令来计 算。

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Uc=ctrb(A,B); Vo=obsv(A,C); rank(Uc) rank(Vo) 可以得到: ans = 4 ans = 2 可以看出,系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数,系统 的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的维数,所以系统可控,因此可 以对系统进行控制器的设计,使系统稳定。 对于以外界作用力作为输入的系统状态方程的可控性分析,读者可以按上述 方法自行计算。

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