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34理论力学(周衍柏第二版)答案


第一章习题
1.1 沿水平方向前进的枪弹,通过某一距离 s 的时间为 t ,而通过下一等距离 s 的时间为 t 2 .
1

试证明枪弹的减速度(假定是常数)为

2 s ?t2 ? t1 ? t1t2 ?t1 ? t2 ?
1.2 某船向东航行,速率为每小时 15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行,在 下午 1 时 30 分经过此灯塔。问在什么时候,两船的距离最近?最近的距离是多少? 1.3 曲柄 O A ? r , 以匀角速 ? 绕定点 O 转动。此曲柄借连杆 AB 使滑块 B 沿直线 Ox 运动。 求连杆上 C 点的轨道方程及速度。设 AC ? CB ? a , ?AOB ? ? , ?ABO ? ? 。

y
A
r

a

C

?
O

?

a B x

第 1.3 题图 1.4 细杆 OL 绕 O 点以角速 ? 转动,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动。图中的 d 为已 知常数,试求小球的速度及加速度的量值。

L

A
d ? O

x
C

B

第1.4题图

1.5 矿山升降机作加速度运动时,其变加速度可用下式表示:

?t ? ? a ? c?1 ? sin ? 2T ? ?
式中 c 及 T 为常数,试求运动开始 t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初

速度为零。 1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为 ?r 及 ?? ,式中 ? 及 ? 是常数。试证其沿位 矢及垂直于位失的加速度为

?2 r ?
1.7 试自

? 2? 2
r

?? ? , ?? ? ? ? ? r? ?

x ? r cos? , y ? r sin?
出发,计算 ?? 及 ?? 。并由此推出径向加速度 a 及横向加速度 a? 。 x y
r

1.8 直线 FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速 ? 绕其焦点 F 转动。求此直线与椭圆的焦点

M 的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为

a 1 ? e2 r? 1 ? e cos?
式中 a 为椭圆的半长轴, e 为偏心率,都是常数。 1.9 质点作平面运动,其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。 1.10 一质点沿着抛物线 y 2 ? 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 ? 2k 倍。 如此质点从正焦弦 ? ?

?

?

p ? 的一端以速度 出发,试求其达到正焦弦另一端时的速率。 u , p? ?2 ?

1.11 质点沿着半径为 r 的圆周运动,其加速度矢量与速度矢量间的夹角 ? 保持不变。求质 点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为 v0 。 1.12 在上题中,试证其速度可表为

v ? v0e?? ?? 0 ? ctg?
式中 ? 为速度矢量与 x 轴间的夹角,且当 t ? 0 时, ? ? ? 0 。 1.13 假定一飞机从 A 处向东飞到 B 处, 而后又向西飞回原处。 飞机相对于空气的速度为 v? , 而空气相对于地面的速度为 v0 。 A 与 B 之间的距离为 l 。飞机相对于空气的速度 v? 保持不 变。

?a ? 假定 vo ? o ,即空气相对于地面是静止的,试证来回飞行的总时间为
t0 ? 2l v?

,试证来回飞行的总时间为 ?b ? 假定空气速度为向东(或向西)

tB ?

1?

t0 v0 2

v?2

,试证来回飞行的总时间为 ?c ? 假定空气的速度为向北(或向南)
-2-

tN ?

t0 1? v0 2 v? 2

1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为 100 千米。如果飞机沿每边为 6 千米的正方形飞 行,且风速为每小时 28 千米,方向与正方形的某两边平行,则飞机绕此正方形飞行一周, 需时多少? 1.15 当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 米的甲板,篷高 4 米。但当 轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在篷前 3 米。如果雨点的速度为 8 米/秒,求轮 船的速率。 1.16 宽度为 d 的河流,其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处,水流速度为零,在河流 中心处,其值为 c 。一小船以相对速度 u 沿垂直于水流的方向行驶,求船的轨迹以及船在对 岸靠拢的地点。 1.17 小船 M 被水冲走后,由一荡桨人以不变的相对速度 C 朝岸上 A 点划回。假定河流速 2 度 C 沿河宽不变,且小船可以看成一个质点,求船的轨迹。
1

1.18 一质点自倾角为 ? 的斜面上方 O 点,沿一光滑斜槽 OA 下降。如欲使此质点到达斜面 上所需的时间为最短,问斜槽 OA 与竖直线所成之角 ? 应为何值?

O

?
A

?

第1.18题图

1.19 将质量为 m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比,即

R ? mk 2 gv2 。如上抛时的速度为 v0 ,试证此质点又落至投掷点时的速度为

v1 ?

v0 1 ? k 2v 2 0

1.20 一枪弹以仰角 ? 、初速度 v0 自倾角为 ? 的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方 和发射点的距离 d (沿斜面量取)及此距离的最大值分别为

2v 2 0 cos? sin?? ? ? ? d? g cos2 ? d max ? v 20 ?? ? ? sec2 ? ? ? 。 2g ?4 2?
-3-

1.21 将一质点以初速 v0 抛出, v0 与水平线所成之角为 ? 。此质点所受到的空气阻力为其速 度的 mk 倍, m 为质点的质量, k 为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为

? 时所需的时间。
1.22 如向互相垂直的匀强电磁场 E 、 B 中发射一电子,并设电子的初速度 V 与 E 及 B 垂 直。 试求电子的运动规律。 已知此电子所受的力为 e ?E ? v ? B ? , 式中 E 为电场强度,e 为 电子所带的电荷, v 为任一瞬时电子运动的速度。 1.23 在上题中,如

?a ? B ? 0 ,则电子的轨道为在竖直平面 ?xy平面? 的抛物线;

? b? 如 E ? 0 ,则电子的轨道为半径等于 mV
eB

的圆。试证明之。

1.24 质量为 m 与 2m 的两质点, 为一不可伸长的轻绳所联结, 绳挂在一光滑的滑轮上。 m 在 的下端又用固有长度为 a 、倔强系数 k 为 mg 的弹性绳挂上另外一个质量为 m 的质点。在

a

开始时,全体保持竖直,原来的非弹性绳拉紧,而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静 止状态释放后, 求证这运动是简谐的, 并求出其振动周期 ? 及任何时刻两段绳中的张力 T 及

T? 。

a

T
? 2m

?

T

T?

? m?T

第1.24题图

1.25 滑轮上系一不可伸长的绳,绳上悬一弹簧,弹簧另一端挂一重为 W 的物体。当滑轮以 匀速转动时,物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住,试求弹簧的最大伸长及最大张力。 假定弹簧受 W 的作用时的静伸长为 ?0 。 1.26 一弹性绳上端固定,下端悬有 m 及 m? 两质点。设 a 为绳的固有长度,b 为加 m 后的伸 长, c 为加 m? 后的伸长。今将 m? 任其脱离而下坠,试证质点 m 在任一瞬时离上端 O 的距 离为

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

 


 

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